Lineare Systeme - Impulsantwort, Frequenzgang, Phasengang

Systemtheoretische Grundlagen - lineare Systeme

In diesem Abschnitt werden einige wichtige Grundlagen der Systemtheorie zusammengefaßt. Die Systemtheorie beschäftigt sich mit allgemeinen Systemen und insbesondere dem Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal und Ausgangssignal eines Systems.

Inhaltsverzeichnis

• Systemtheoretische Grundlagen - lineare Systeme
• Frequenzgang
• Phasengang
• Impulsantwort
• Nicht-lineare Systeme

Eine wichtige Klasse von Systemen sind die linearen Systeme. In der strengsten Definition ist dies ein idealer Verstärker. Das Ausgangssignal ergibt sich durch Multiplikation des Eingangssignals mit dem Verstärkungsfaktor (gain). Ist dieser größer als eins so handelt es sich um einen „eigentlichen“ Verstärker. Man spricht von einem Dämpfungsglied wenn der Faktor kleiner als eins ist.

Zu den linearen Systeme zählen auch Verzögerungsglieder (delay).

In der allgemeinen Definition eines linearen Systems dürfen der Verstärkungsfaktor und die Verzögerung frequenzabhängig sein.

Hieraus kann man folgende Eigenschaften eines linearen Systems ableiten:

• Vergrößert man das Eingangssignal um einen bestimmten Faktor, so nimmt das Ausgangsignal um den gleichen Faktor zu.

• Ist das Eingangssignal sinusförmig, so ist auch das Ausgangssignal sinusförmig. Es darf sich lediglich in der Amplitude oder Phase ändern.

• Besteht das Eingangssignal aus mehreren sinusförmigen Signalen (Töne) unterschiedlicher Frequenz, so enthält das Ausgangssignal geunau diese Töne Es darf sich lediglich die Amplitude oder Phase der einzelnen Töne ändern.

• Ein lineares System kann vollständig durch sein Frequenzgang und Phasengang beschrieben werden.

• Im Zeitbereich ist es eindeutig durch seine Impulsantwort definiert. Die Impulsantwort bzw. der Frequenzgang/Phasengang sind durch die Fouriertransformation ineinander umrechenbar.

• Kennt man von einem linearen System die Impulsantwort bzw. den Frequenzgang/Phasengang, so kann man für jedes Eingangssignal das Ausgangssignal berechnen.

In der Literatur wird häufig der Begriff LTI-Systeme (Linear-Time-Invariant) verwendet.

LTI-System können mathematisch vollständig beschrieben werden und sind daher besonders elegant in der Analyse.

In der Akustik gibt es viele Systeme, die in guter Näherung LTI-System sind. Dies sind insbesondere die akustische Antwort eines Raumes (wenn nicht gerade die Gläser im Schrank klirren). Durch hohen technischen Aufwand versucht man auch Mikrofone und Lautsprecher zu linearisieren.

Frequenzgang

Der Frequenzgang beschreibt die Frequenzabhängigkeit des Verstärkungsfaktors. Im allgemeinen ist dieser Wert komplexwertig d.h. er hat eine Amplitude und eine Phase. Daher heißt es eigentlich genau Amplitudengang oder Betragsfrequenzgang. Im allgemeinen wird hierfür einfach Frequenzgang verwendet. Der Amplitudengang gibt daher an wie sich die Amplitude bei einem sinusförmigen Eingangsignal verändert.

Phasengang

Analog gibt der Phasengang die Änderung der Phase über der Frequenz an. Die erste Ableitung der Phase ist die Gruppenlaufzeit. Eine sehr wichtige Klasse von linearen Systemen ist linearphasig. Bei ihnen verändert sich die Phase linear mit der Frequenz. Solche Systeme besitzen eine konstante Gruppenlaufzeit, d.h. die Verzögerung ist für alle Frequenzen gleich. Nach der allgemeinen Definition muß der Amplitudengang bei einem linearen System keinesfalls konstant sein. Bei vielen Systemen wie Lautsprecher oder Verstärker etc. wird dies jedoch angestrebt, da eine Klangveränderung vermieden werden soll. Idealerweise sollten alle Komponenten einer Audiokette ein idealer Verstärker sein, der höchstens eine Verzögerung besitzt.

Impulsantwort

Die Impulsantwort ist das Ausgangssignal eines linearen Systems auf einen unendlich hohen und unendlich kurzen Impuls am Eingang. Ein solcher Impuls wird auch als Dirac-Impuls bezeichnet. Ist die Impulsantwort eines Systems bekannt, so kann das Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignal durch eine lineare Faltung (convolution) berechnet werden. Aus der Impulsantwort können der Frequenzgang und der Phasengang bestimmt werden. Umgekehrt ist auch die Impulsantwort unter Kenntnis des Frequenzgangs und des Phasengangs berechenbar.

Stark verwandt mit der Impulsantwort ist die Sprungantwort. Dies ist die Antwort eines Systems auf ein Sprungsignal das einen Übergang von 0 auf 1 enthält. Die Impulsantwort und die Sprungantwort sind ineinander umrechenbar.

Nicht-lineare Systeme

Ein nicht-lineares System ist ein System, das nicht der Definition eines linearen Systems genügt. Typischerweise erzeugen nicht-lineare Systeme additive Störungen wie Rauschen oder Verzerrungen. Zwar sind nicht-lineare Verzerrungen im allgemeinen unerwünscht und werden mit hohem technischen Aufwand vermieden. Bei Röhrenverstärkern sind Verzerrungen hingegen erwünscht.

Allgemeine nicht-lineare Systeme können ein außerordentlich komplexes Verhalten zeigen. Sie sind z.B. nicht durch eine Impulsantwort beschreibbar, denn diese kann Pegel- oder auch zeitabhängig sein. Daher können viele analoge Systeme nicht einfach vermessen werden und digital nachgebildet werden.

Legt man an ein nicht-lineares System ein Sinussignal an, so ist das Ausgangssignal nicht mehr sinusförmig. Es finden sich häufig Verzerrungsprodukte mit einem vielfachen der Eingansfrequenz sogenannte Harmonische. Daneben treten aber auch weitere Verzerrungsprodukte an beliebigen Frequenzen auf.